一道物理题

晚上刷短视频看到一个直播间在讨论一道物理题，频繁有人上麦下麦去提问和解答，把这道题分析得还是比较透彻了。这里记录一下他们思考的方式，可能之后能够用到。

问题描述

原题目是这样的：题目图片

整理一下已知条件：两面墙夹着四块砖，编号为1、2、3、4，并且每块砖的重力均为G（从这个符号分析应该是重力为G，而不是重量是G，两者相差一个重力常数g。为了方便分析，认为这里是重力G），整组砖处于静止状态。

问题是：2，3之间的摩擦力多大？

正常解法

如果不考虑很多条件，那就认为两面墙是相同的，然后4块砖是相同的。于是对4块砖整体受力分析，4块砖受向下的重力4G，那必须要有一个向上的大小为4G的力平衡掉重力，这样竖直方向上才能静止。那墙能提供的竖直方向上的力只能是摩擦力，两面墙一起提供了向上的合力为4G的摩擦力。

那又因为两面墙完全一样，所以每面墙应该是提供了向上的2G的摩擦力。

到这里对砖块1在垂直方向进行受力分析，向下受1G重力，向上受墙壁的2G摩擦力，那必然要受砖块2一个向下的大小为G的摩擦力才能平衡。由于力的作用是相互的，再对2在竖直方向进行受力分析，向下受1G重力，向上受砖块1的1G的摩擦力，这里其实就已经二力平衡了。所以砖块2，3之间的摩擦力就是0。

如果从4开始分析也是一样，因为左右是对称的，也能分析出砖块2，3之间的摩擦力是0。

整道题用了高中物理的整体法和隔离法，从整体角度和个体角度分别受力分析，可以推导出最后的结果。

数学形式化

只考虑竖直方向，并且认为向上方向的力为正方向。如果我们把\(i\)对\(j\)的作用力记为\(F_{ij}\)，把墙记为\(w\)，那么依此对每个砖块进行受力分析可以得到下面的方程： \[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} F_{w1}+F_{21}-G &= 0 \\ F_{12}+F_{32}-G &= 0 \\ F_{23}+F_{43}-G &= 0 \\ F_{34}+F_{w4}-G &= 0 \\ \end{aligned} \right . \end{equation} \] 4个方程，未知数有\(F_{w1}, F_{21}, F_{12}, F_{32}, F_{23}, F_{43}, F_{34}, F_{w4}\)总共8个变量，而通过力的作用是相互的又可以补充以下方程： \[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} F_{21} &= -F_{12} \\ F_{32} &= -F_{23} \\ F_{43} &= -F_{34} \\ \end{aligned} \right . \end{equation} \] 这里就8个变量和7个方程了。注意，这里面包含了等式\(F_{w1}+F_{w4}=4G\)了，所以整体法的等式可以不用重复引入。

如果墙壁也是完全相同的，这里就可以使用对称性得到最后一个关键的等式，即：\(F_{w1}=F_{4w}\)

8个变量和8个等式，联立起来就可以求解这个问题了。这样形式化之后也能求得最后2，3之间的摩擦力是0。

问题的关键在于对称性！通过受力分析和力作用是相互的只能得到7个方程，而变量有8个，通过对称性补足了最后一块拼图。但如果我们刻意破坏对称性呢？

扩展1：如果两面墙不一定是相同的呢

上面的解法很好，但有一个关键的条件，就是两面墙必须完全相同。这样我们才可以利用对称性知道每面墙壁实际提供了向上的2G大小的摩擦力。那么很自然地一种想法就是如果两面墙不一定相同，那么之前的分析可以视为一种特殊的情况，并且我们已经知道了结论：在两面墙相同且都不是完全光滑的情况下，砖块2，3之间的摩擦力为0。

之后会考虑另一种特殊的情况，并且导出墙面不一定相同下的一般结论。

扩展1.1 一面墙是完全光滑的可行吗

墙面粗糙程度不同的极端情况就是完全光滑。显然两面墙都完全光滑是不可能静止的。那如果一面墙是完全光滑的呢？

从数学形式化那章来看，一面墙（假设是左边的墙）是完全光滑的也就意味着\(F_{w1}=0\)，实际也补足了所有的方程。最后可以导出：\(F_{32}=2G, F_{23}=-2G, F_{w4}=4G\)。也就是另一面墙提供了所有向上的4G摩擦力，此时砖块2，3之间的摩擦力大小为2G。

当时有人还从力矩角度提出了疑问，因为我没学过力矩的相关知识，这里也不做展开。但单纯从受力角度，只要另一面墙是可能提供向上的4G的摩擦力的，因此一面墙是完全光滑的是可行的，并且此时2，3之间的摩擦力是2G。

更往上的一个扩展是，如果把砖块之间的接触面也算作面，那么5个接触面里任意1个面是光滑的不提供摩擦力都是可以平衡的。

扩展1.2 两面墙粗糙程度不一定相同

如果两面墙不同时完全光滑，粗糙程度也不一定相同会怎么样？上面的方程可以导出： \[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} F_{w1} + F_{32} - 2G &= 0 \\ F_{w4} + F_{23} - 2G &= 0 \\ \end{aligned} \right . \end{equation} \] 其实可以发现： \[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} F_{32} &= 2G - F_{w1} \\ F_{23} &= 2G - F_{w4} \\ \end{aligned} \right . \end{equation} \] 极端情况就是一面墙完全光滑，即\(F_{w1}=0,F_{w4}=4G\)，这样那面墙完全不提供任何向上摩擦力。

另一个极端情况就是两面墙粗糙程度完全相同，则有\(F_{w1}=F_{w4}=2G\)。

如果那面墙不是完全光滑，只是没那么粗糙，我们可以推导得知：\(F_{w1} \neq F_{w4}, F_{w1} + F_{w4}=4G\)。这时候，2,3之间的摩擦力应该在(0,2G)区间内。

综上，如果两面墙粗糙程度不一定相同，2，3之间的摩擦力大小应该是一个范围[0, 2G]。当且仅当两面墙粗糙程度完全相同时可以取0。当且仅当一面墙完全光滑时可以取2G。

扩展2：如果有一块砖重一些

讨论破坏平衡性的另一种方法是这里面有一块砖质量不一样，比如2号砖如果重力是2G呢？这样即使两面墙壁粗糙程度一样，也无法使用对称性来分析了。遗憾地是，这似乎只能导出： \[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} F_{w1} + F_{32} - 3G &= 0 \\ F_{w4} + F_{23} - 2G &= 0 \\ \end{aligned} \right . \end{equation} \] 2号砖块更重一些不仅破坏了对称性，而且似乎没办法提供更多的信息，应该是解不太出来什么有用的结论的。

有人提供了一种直观的想法，就是两只手捏着锤子的头部和柄部，那么靠近头部的手指应该更用力。这个直觉下应该1号砖那边的墙的摩擦力更大一些。但确切的证明我也不太懂。

启发

其实对于很多问题，对称是一个很重要的隐含条件，合理使用对称条件能简化很多复杂的问题。同样，刻意破坏对称条件也会让简单问题走向一般化和复杂化。

一些其他的问题

关于摩擦因数

有人提到了摩擦因数\(\mu\)，也有人指出这道题不需要考虑这个因数。因为这个系统静止了，说明墙壁和砖块间提供的是静摩擦力。而摩擦系数只和最大静摩擦力有关，现在系统仍然静止，说明所提供的摩擦力没有达到最大静摩擦力。

关于刚体

这个砖块应该是形变过的，不然墙壁没法给砖块提供水平支持力，没有支持力那显然没有摩擦力，因此整个系统不可能静止。所以这个砖块是有形变的，但是对于分析问题来说形变影响不大，因此可以把砖块视为刚体。

关于使用LLM回答这个问题

我使用了目前能够进行视觉输入的LLM来尝试解决这个问题，包括gpt-4o, gemini(普通用户版本), sonnet 3.5来尝试解决这个问题。就提供那张问题图片，prompt是：“用中文解答一下这道题”。遗憾地是，居然没有LLM能够回答对这道题。甚至出现了一写很奇怪但很常见的问题，比如执着于摩擦系数、认为4个砖块是垂直堆叠的，很多LLM都有这个幻觉很奇怪。